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如何因式分解三项式

2024-01-16 17:19 生活

步骤

如果三个项系数都有相同因数，提出来。或者含有共同变量，也提出来。

方法 1二次三项式

参数是多项式中的变量，正常顺序就是按次数大到小来排列的。因此 5 + x2 + 6x 要被整理成 x2 + 6x + 5

因此而三项式3x2 + 18x + 15 中每个项都是3的倍数，3 提出来得到3(x2 + 6x + 5).
在- x2 - 2x - 1 每个项都含有 -1 ，提出来变成 (-1)(x2 + 2x + 1) ，或者更一般的形式 -( x2 + 2x + 1)
三项式 3x2 y + 3xy - 60y 中每项都有 3y ，提出变成 3y(x2 + x - 20)。

二项式是含有两个组成部分的mx +n形式的多项式， m、n代表常数。两个二项式中的首项应该是三次项(ax2)的因数，二项式的第二项应该是三项式中常数(c)的因数。把第一个多项式首项和第二个多项式的次项相乘，然后把第二个多项式首项和第一个多项式的次项相乘就得到三次多项式的(bx)。

因此对于x2 + 6x + 5 ，每个二项式因式的首项都是x ，因为x乘以x是 x2。因式的次项应该是5 和 1，因为5乘以1等于5。分解出来的二项式因式应该是(x + 5)(x + 1)，可以把第一个因式的 x 乘以后一个因式的1，得到x，然后把后一个因式x乘以前一个5，得到5x, 加起来得6x，即三项式的中间项。
如果常数项有好几个不同的可能因数，那么需要一一解出正确的二项式因式。比如 x2 + x - 20，每个二项式里的第一项应该都是x，因为这里的a=1。但是c的绝对值 20可以被分解成20 乘以 1、 10 乘以 2、 5 乘以 4。看b的值，b= 1，因此所有二项式的第二项加起来一定是1。又因为c是负数 - 20，其中一个第二项一定是负数。因为 5 - 4 (或 5 加 - 4) 等于 1，正确的答案是(x + 5)(x - 4)

方法 2特殊情况下分解出正确的二项式因式

质数是只能被自己或1整除的数，这样因数就少很多了。在这个例子 x2 + 6x + 5 中 5 是质数，因此只有一对解。 (x + 5)(x + 1)

完全平方式是一个项自己乘自己得到的式子。比如：1 * 1 = 1、 2 * 2 = 4、 3 * 3 = 9 等等。如果ax2 + bx + c 是完全平方式， a 和 c一定是完全平方，b一定是 a 和 c的根的和的两倍。

三项式x2 + 6x + 9 是完全平方式，即(x + 3)(x + 3)。 a 是 1 ，即1 的平方。 c 是 9，是3 的平方，b 是 6 ，即a 、 c 开根号的和的二倍，即 2(1 * 3)
三项式4x2 + 12x + 9 可以因式分解为(2x + 3)(2x + 3)，也是完全平方式。 a 是 4，或2 平方，c 是 9，3 的平方，b是12，a 和c 开根号的和的两倍， 2(2 * 3)
注意如果是完全平方式，这个三项式的a、c一定是正数。若都是负数，提出-1，把a、b、c的符号都变过来，然后再计算。

有的二项式也可以分解为两个二项式，形式为ax2 - c，a 和 c 都是完全平方数。或者可以看成b等于0的三项式。这些二项式可以分解为两个二项式，其中首项都相同，次项符号不同，绝对值相同。

如4 x2 - 9 因式分解为(2x + 3)(2x - 3) 。因为2 是4 的平方根， 3是9的平方根。因为正数乘以负数等于负数，因此一个3是正的，一个是负的。得到 4x2 + 6x - 6x - 9 或者简单点， 4x2 - 9。

方法 3含有隐藏变量的二次方程式

如 x6 - 7x3 + 12 看起来有6次，但是用个代入法 u=x3得到 u2 - 7u + 12。这个也适用于多变量多项式。比如 x5y - 7x3y2 + 12y3 得到xy3(u2 - 7u + 12) ，这里用的替换是 u = x2/y。这种替代法在任何第二项的次数都是首项的一半的时候都可以用。