2

了解各个变量含义。要计算瞬时速度需要经常碰到下列量：

• 位移 = s
  • 位移就是物体运动的距离，一般用米来表示
• 时间= t
• 速度= v
  • 速度就是某个方向的运动快慢。要计算瞬时速度，我们先要找出这个时间点t (时间)，速度一般的单位是 (m/s)
• 斜率 (或“梯度”) = m
  • 本方法中用这个量可以在简单xy轴平面图上表示出物体运动过程，x轴是时间，y轴是位移，因此曲线的斜率就是时间。

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举个例子。我们假设一个物体的位移和时间的函数关系如下：位移 (s) = 3t2 + 4t + 7 ，在x-y轴上作图，x轴是时间，y轴是位移，得到一个曲线图。

• 在某一时间 (t) 的速度 (v) 就等于该点曲线斜率 (变化量)。

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要通过上述曲线找出物体的瞬时速度，我们要做出这个函数的导数方程。方程的导数值相当于该点曲线的斜率值。你可以用以下公式来求导：

• 通用求导公式： 若函数形式为 y = a*xn，则导数 = a*n*xn-1 ，本公式适用所有多项式的项的求导。常数项，或不带变量的量，或在上述例子中的"+7" ，就会因为乘以0而消掉。

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用本公式，来求得位移函数。现在有 y = 3x2 + 4x + 7 ，求导得到导数= (3*2)*x(2-1)+(4*1)*x(1-1)+(7*0)*x(0-1)

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简化等式。把所有括号里的项化简得到：6x1+ 4x0+ 0x-1

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继续简化。可以写成 6x + 4 ， "0x-1" 这项简化为 0， "4x0" 这项为 4 (n0 = 1)

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将新方程式设为m（斜率）。这个式子代表 (y = 3x2 + 4x + 7) 的斜率函数，可以求出每个x值（时间）对应的斜率。这个斜率就是物体该时间的瞬时速度了。

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找出 t=4（秒）时的速度。你只要把4代入斜率式即可。得到 y = 6(4) + 4 ，得到 28 ，因此 t=4 时的瞬时速度为 28 m/s

2

从 x=0 开始顺着x轴方向画物体的曲线图。斜率就代表y的变化量除以x的变化量的商。所以如 Y是位移， X是时间，则斜率就是y的变化量除以x的变化量得到的商，也就是速度。

• 要计算瞬时速度，要找到该点的曲线斜率。

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要找出曲线斜率，则我们要用一种“求极限”的技巧。

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在时间轴上取一点P，比如 x=1 ，不一定要取得很精确，但要选个方便计算的值。

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再找一个时间轴上的点Q。Q和P之间只有一小段距离，我们例子中假设 P 是x=1, Q是 x=3

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找出P、Q之间的斜率。你可以用（P、Q纵坐标之差）/（P、Q横坐标之差）得到斜率，我们假设P、Q横坐标之差为H，这里 H=3-1=2

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尽量缩小H。或者让Q尽可能接近P点，同时计算斜率。多试几次，每次都让H减少一定量，多算几次以后你就会发现斜率接近一个固定值。只要H>0，斜率永远不可能等于这个值。我们就说斜率接近极限值。

• H趋向0的时候斜率接近的值就是极限值。这个值等于该点曲线的切线斜率。切线就是无限接近曲线的平行线，切线斜率因此就是H无限趋近于0时，求得的斜率。
• 要找出切线斜率，就找出位移函数的导数函数，第一步有讲到。