方法 1基本方法

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定义导数。当变量倾向于0的时候，函数（一般是y）增量和变量（一般是x）增量的比值会取得一个极限值，这就是导数（也称为微分系数，特别在英国）。或者说在一瞬间，变量的微小变化造成的函数的微小变化。以速度距离，速度就是距离对时间的瞬时变化。下面比较一阶导数和二阶导数:

• 一阶导数即原导数的函数。例如:“速度是距离关于时间的一阶导数。”
• 二阶导数即函数导数的导数。例:“加速度是距离对时间的二阶导数。”

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不要混淆阶数（最高导数阶数）和次数（导数的最高次数）。最高导数次数是由最高阶导数的阶数决定的。导数的最高次数则是导数中的项的最高次数。比如图一的微分方程是二阶、三次导数。

方法 2解一阶微分方程

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看看这个变量是否可分离。一个微分方程若可以表达为f(x)dx + g(y)dy = 0，则其变量可分离。f(x)是只关于x的函数，g(y)是只关于y的函数。这些都是最容易解的微分方程。他们可以积分为∫f(x)dx +∫g(y)dy = c，c是一个任意常数。下面是一个通用的方法，参见图2为例。

• 去掉分式部分。如果等式含有微分，用独立变量的微分相乘。
• 把所有具有相同微分的项集合成一项
• 分别积分不同微分的部分。
• 简化表达式。可以通过合并同类项，把对数转化为指数，用最简单的符号来表达任意常数，以下为例

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如果变量是不可分离的，检查该微分方程是否是齐次的。如果把x和y替换为λx和λy，会导致整个函数的值为原函数乘以λ的n次方，那么λ的次数n就是原函数的次数。这样微分方程M dx + N dy = 0就是均匀的。如果出现这种情况，请用以下步骤来解。图3是一个示例。

• 让 y=vx， 得出dy/dx = x(dv/dx) + v.
• 从 M dx + N dy = 0可得到dy/dx = -M/N = f(v)。因为 y 是v的函数。
• 得出 f(v) = dy/dx = x(dv/dx) + v 。 现在变量x 和 v 可以分离了： dx/x = dv/(f(v)-v))
• 用可分离的变量解新得出的微分方程，然后用y替代vx 得出y

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如果不能用以上方法得出结果，试试可不可以用dy/dx + Py = Q形式的线性方程解出来（P Q 都是只关于x的方程或常数）。记住这里x、y可以交替使用。图4为例：

• 设 y=uv，u 和 v 是x的函数。
• 两边微分，得到 dy/dx = u(dv/dx) + v(du/dx)
• 代入dy/dx + Py = Q 得到 u(dv/dx) + v(du/dx) + Puv = Q，或 u(dv/dx) + (du/dx + Pu)v = Q
• 通过积分可以分离变量的等式du/dx + Pu = 0得到u。然后用u的值，通过u(dv/dx) = Q得出 v ，这里的变量仍然可以分离
• 最后用y=uv 得出y

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解伯努利方程： dy/dx + p(x) y = q(x) yn。通过以下方法来解：

• 设 u = y1-n，这样 du/dx = (1-n) y-n (dy/dx).
• 因此得出 y = u1/(1-n)、 dy/dx = (du/dx) yn / (1-n)和 yn = un/(1-n)
• 代入Bernoulli Equation， 同乘(1-n) / u1/(1-n)得出 du/dx + (1-n) p(x) u = (1-n) q(x)
• 注意这只是关于u的一阶线性方程，可以用上述方法来解（步骤3）。解出之后代入y = u1/(1-n) 得到完整解。

方法 3解二阶微分方程

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看看微分方程是否符合图5的等式（1），f(y)是只关于y的函数，或者是一个常数。如果是，就只要用图5标出的方法来做就好。

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用常系数求解二阶线性微分方程：看看这个微分方程满足不满足图6中的等式(1)。如果满足，这个微分方程可以简单用下列步骤当作一个二次方程来解。

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要解个一般的二阶线性微分方程，要看看该微分方程是否满足图7所示的方程(1)。如果是这样，可以用下列的步骤解决微分方程。以图7的步骤为例。

• 把图6方程(1)（f(x)=0）以上面说过的方法解出来。 解出来是y = u的形式，u是图7方程 (1) 的余函数。
• 按以下步骤代入试出一个图7方程(1)的特解y = v。
  • 若 f(x) 不是方程(1)的特解，则：
    • 若 f(x) 形式为f(x) = a + bx，则假设y = v = A + Bx;
    • 若 f(x) 形式为f(x) = aebx，则假设y = v = Aebx;
    • 若 f(x) 形式为f(x) = a1 cos bx + a2 sin bx，则假设y = v = A1 cos bx + A2 sin bx.
  • 若 f(x)是(1)的特解则按以上形式各种情况再乘一个x
• 方程 (1)的完整解则是通过 y = u + v得出

方法 4解高次微分方程

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看看该微分方程是否满足图5中方程(1)形式，f(x)是一个只关于x的函数或一个常数。如果是，则按照图8步骤解。

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看看该微分方程满足不满足图9方程(1)的形式。如果是，可如下解决微分方程:

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要解更一般的“n”阶线性微分方程，要看看该微分方程是否满足图10方程(1)形式。如果是这样，此微分方程和二阶线性微分方程解决方法类似。如下所示求解:

现实中的应用

1. 

   复利法:利息率的增加是和初始金额成正比的。更一般地说，一个独立变量的利率变化是和对应值的函数成正比的。也就是说,如果y = f(t)，则dy / dt =ky。可以用可分离变量解这个函数，会得到y = ce ^(kt)，y是一笔金额的的累积复利，c是任意常数，k是利率，例如，美元方面的利率是一年一美元，t是时间。这里看来，时间就是金钱。
   • 注意，复利法适用于日常生活的许多方面。比如，假设你正用往盐溶液里倒水来淡化盐浓度，需要添加多少水？水流速度是怎样影响浓度变化的？ 设s=一定时间盐溶液中的盐量，x =已流过的水量，v =溶液体积。盐浓度=s/v。现在假设Δx体积的水溢出了，这样盐的流失量是(s / v)Δx，因此改变盐的摄入量Δs可以由Δs = -(s / v)Δx得出。两边同除以Δx，得Δs /Δx = -(s / v)。取极限Δx——> 0，然后就有ds / dx = - s / v。这是一种复利定律形式的微分方程。其中y是现在的s，t是现在的x，k现在是1/v。
   • 牛顿冷却定律是另一种复利定律的变体。它表示在低温环境中，体温降低，和身体温度与周围空气的温度差是成正比的。设x =身体的过高温度，t =时间，得出dx / dt =kx。k是一个常数。解得x = ce ^(kt)，c如上，是一个任意常数。假设过高温度x最初在80华氏度（26摄氏度），一分钟后降到70华氏度（21度），2分钟后是什么情况? 让t =时间（分钟为单位），x =过高的温度。得到80= ce ^(k * 0)= c。同时，70 = ce ^(k * 1)= 80 e ^ k，这样k = ln(7/8)。所以x = 70 e ^(ln(7/8)t)是这个函数的一个特解。现在设t = 2，得x = 70 e ^(ln(7/8)* 2)= 53.59华氏度。

     

   • 在大气热力学里，高于海平面的大气压力p的变化率，和海拔高度h成比例。这是另一种复利定律的变式。这里的微分方程是dp / dh = kh，k是常数。

     

   • 化学中化学反应的速率，是在时间t内反应量x关于t的变化率。让a=开始反应时的浓度，那么就有dx / dt = k(a - x)，k是速率常数。这是另一种复利定律变体。(a - x)现在是因变量。可以发现d(a - x)/ dt = - k(a - x)，所以d(a - x)/(a - x)= -kdt。积分，得到ln(a - x)= kt+a。因为t = 0时a - x =a。整理一下等式，会得到速率常数k =(1 / t)ln(/(a - x))。

     

   • 在电磁学中，给定一个电路，电压是V，当前电流是i(安培)。电压V克服电路中的电阻R(欧姆)和电路的电感L时会产生消耗。L由方程V =iR+ L(di / dt)或di / dt =(V - iR)/ L决定。这是另一种复利定律的变式，V - iR现在是因变量。

     

2. 声学上，简单的谐波振动具有和负距离成正比的加速度。回想一下，加速度是距离的二阶导数，所以d2s / dt2 + k2s = 0， s =距离，t =时间，和k2的是在单位距离的加速度大小。这是一个简单的谐波方程，也是一个二阶常系数线性微分方程，和图6中解的方程(9)和(10)类似。得出的解是s = c1cos kt + c2sin kt。 这个方程可以进一步简化。设c1 = b sin A，c2 = b cos A 。代入得到b sin A cos kt + b cos A sin kt。回想一下三角函数中，sin(x + y)=sin x cos y + cos x sin y，所以表达式可以简化为s = b sin (kt + A)。波形遵循简单的谐波方程，以2π/ k为周期在- b和b之间摆动。

   

   • 弹簧振动：把一个质量m的物体放在振动的弹簧上。根据胡克定律，当弹簧从自然长度（或在平衡位置）拉伸或压缩s单位时，产生的回复力F与s成正比，或F = -k2s。由牛顿第二定律（力等于质量乘以加速度），得到 m d2s / dt2 = -k2s 或 m d2s / dt2 + k2s = 0。这是一个简单谐波方程的表达式。

     

   • 阻尼振动：如上述情况，考虑一个带阻尼力的振动弹簧。阻尼力，如摩擦力，是任何能减少振荡器振荡幅度的效应力。例如，根据阻尼力原理可以制造汽车减震器。在大多数情况下，阻尼力Fd,大概和对象速度成正比，或Fd = c2 ds / dt，c2是一个常数。结合阻尼力和恢复力的公式，我们由牛顿第二定律得到-k2s - c2 ds / dt = m d2s / dt2 ，或者 m d2s / dt2 + c2 ds / dt + k2s = 0。这个微分方程是一个二阶线性方程，可以通过s= e ^(rt)解出辅助方程mr2 + c2r + k2 = 0 来解。用二次公式解这个方程，得到r1 =(c2 + sqrt(c4 - 4 mk2))/ 2 m，r2 =(c2 - sqrt(c4 - 4 mk2))/ 2m。

     

     • 过阻尼情况：如果c4 - 4 mk2 > 0，r1和r2是相异的实数。可以用s = c1e ^(r1t)+ c2e ^(r2t)来解。因c2、m、k2都是正数，sqrt(c4 - 4 mk2)必须小于c2，这意味着两根r1和r2是负数，函数是指数衰减形式。在这种情况下弹簧振动不会发生。阻尼力强的材料可以用来制造高粘油或润滑脂。
     • 临界阻尼情况：如果c4 - 4 mk2 = 0，r1 = r2 = c2 / 2m，得出的解是s =(c1 + c2t)e ^((-c2/2m)t)。这仍然是指数衰减，弹簧不会振动。然而假使阻尼力稍微下降一点，将导致物体振动经过平衡点。
     • 欠阻尼情况：若c4 - 4 mk2 < 0，得到复数根，即- c /2m + / -ωi，ω= sqrt(4 mk2 - c4))/ 2m。得出解是s = e ^(-(c2/2m)t)(c1 cos ωt + c2 sin ωt)。这是一个受e ^(-(c2/2m)t阻尼因子影响的振荡情况。因为c2和m都是正数，因此t趋向于无穷大时e ^(-(c2/2m)t)趋向0。所以最终运动将衰变为零。

小提示

• 注意：微分的反面是积分，积分用来计算不断变化的量的累积总和。例如通过已知的一定时间内的距离的损失变化率（速率）计算距离(根据d = rt)。
• 把解回代入原始微分方程，看看是否满足。这样可以确保你解对了方程。
• 很多微分方程难以用上述方法来解。但上述方法已经足以对付常见的微分方程了。