2

知道个位数的立方值。计算中你会用到这些数字。个位数的立方值如下：

• ${\displaystyle 1^3=1\ast 1\ast 1=1}$

  3

  算出解的第一位数。选择一个数字，该数字的立方值应该在小于第一组三位数的前提下与之最为接近。

  • 在本例题中，第一组的三位数是10。找到小于10而又最接近10的整数立方值。该立方值为8，它的立方根是2。
  • 在根号横线上、数字10的上方写下数字2。在数字10的下方写下${\displaystyle 2^3}$

    4

    列式计算下一位数。将下一组三位数抄到余数后，在所得数字的左边画一条垂直的短线。它将是用来计算立方根下一位数的基数。本例题中，这个数字是2000，由之前减法所得的余数2和抄下的三个一组的0组成。

    • 在垂直线段的左边算出下一个除数，这个除数是三个单独数字的和。画三条彼此之间带有加号的空下划线，为这些数字留出空格。

  • 

    5

    算出下一个除数的开始部分。要计算这个除数的第一部分，写下300乘以根号上数字的平方。本例题中，根号上的数字是2，2^2等于4，而4*300=1200。所以，在第一个空格写1200。这一步的除数等于1200加上你之后会算出的某个数。

  • 

    6

    算出立方根的下一位数字。选择一个数字乘以大概的除数1200，使之能够被余数2000减去，这个数就是解的下一位数字。这个数字只能是1，因为2乘以1200等于2400，大于2000。在根号上的下一个空格写下数字1。

  • 

    7

    确定除数的剩余部分。此步骤的除数由三部分组成。第一部分是你已经算出的1200。你还需要两个数字来得到完整的除数。

    • 现在，用3乘以10乘以根号上解得的那两位数字。在本例题中，也就是用3*10*2*1，等于60。用60加上已经得到的1200，等于1260。
    • 最后，加上最后一位数的平方。本例题中，最后一位数是1，而1^2仍然为1。所以，完整的除数等于1200+60+1，即1261。在垂直线段的左边写下这个数字。

  • 

    8

    先乘再减。要完成这一步计算，你需要用解的最后一位数乘以刚刚算出的除数，在本例题中，也就是用1乘以1261。1*1261 =1261。在2000的下方写下这个数字，然后做减法，得到739。

  • 

    9

    判断是否需要继续计算，以获得更精确的结果。完成每一步的减法部分后，你都需要考虑自己的解是否足够精确。第一步减法后算出的解是2，对于10的立方根而言，不是很精确。现在，第二步算出的解是2.1。

    • 你可以计算2.1*2.1*2.1，来检查解的精确度。结果等于9.261。
    • 如果觉得解已经足够精确，你可以就此停止。如果还想得到更精确的解，那么你必须继续下一步的计算。

  • 

    10

    算出下一步的除数。本例题中，为了得到更多练习和更精确的解，请重复如下步骤，做下一步计算：

    • 将下一组的三位数拉下来。本题中，这组数是三个0，放到余数739后面，得到739,000。
    • 要计算除数，先用300乘以当前根号上数字的平方。即${\displaystyle 300\ast {21}^2}$

      11

      用除数乘以解的最后一位数字。完成这一步计算并使解增加一位数后，按以下步骤继续进行：

      • 用除数乘以解的最后一位数。135475*5=677,375。
      • 做减法。739,000-677,375=61,625。
      • 考虑解2.15是否足够精确。计算2.15的立方，${\displaystyle 2.15\ast 2.15\ast 2.15=9.94}$

        12

        写下你的最终答案。根号上的结果就是立方根，此时已经得出了较为准确的三位数。在本例题中，10的立方根等于2.15。要进行验证，可以计算2.15^3，结果得到9.94，非常接近10。如果你需要更精确的答案，可以继续计算下去，直至满意为止。

      部分 2反复估算来求立方根

      

      1

      使用立方数来确定上限和下限。如果题目要求你计算任意数字的立方根，首先选择一个尽可能接近，但不超过目标数字的完全立方数。

      • 例如，如果要计算600的立方根，回想一下，或查询立方表，你会发现${\displaystyle 8^3=512}$

        2

        估算下一位数。使用特定的立方数知识可以得到首位数。要算出下一位数，你可以根据目标数在两个界限数之间的位置来估算一个0到9之间的数字。

        • 例题中，600大约位于界限数512和729之间的中间位置。因此，选择5作为下一位数。

      • 

        3

        计算立方值来验证自己的估算。将刚刚估算出的数字连乘三次，看与目标数字有多接近。

        • 本例题中，${\displaystyle 8.5\ast 8.5\ast 8.5=614.1}$

          4

          根据需要调整估算值。算出之前估算值的立方后，用结果对比目标值，来进行检查。如果结果大于目标值，你就得稍微下调估算值。如果结果小于目标值，你可能需要上调估算值，直至它超过目标值。

          • 例如，本题中${\displaystyle {8.5}^3}$

            5

            估算下一位数，求出更精确的答案。你可以继续从0到9中进行选择，估算下一位数，直至答案达到你的精确度要求。每次估算时，先根据目标数在最新算出的界限数之间的位置来进行估算。

            • 本例题中，根据之前的计算可知，${\displaystyle {8.4}^3=592.7}$

              6

              继续检验自己的估算并做出调整。你可以根据需要多次估算，然后计算估算值的立方，并与目标数进行比较。你会找到一个略微大于目标数的数字，以及一个略微小于目标数的数字。

              • 本例题中，先计算${\displaystyle 8.44\ast 8.44\ast 8.44=601.2}$

                7

                继续估算，直至达到你想要的精确度。根据需要，继续估算、比较和再次估算，重复这些步骤，直至解的精确度达到你的要求。注意，每多一位小数，目标数字就更接近实际数字。

                • 以600的立方根为例，使用两位小数时，解为8.43，其真实立方值距离目标数的偏差小于1。如果继续算出三位小数的解，你会发现${\displaystyle {8.434}^3=599.93}$

                  1

                  回顾二项展开式。要理解这种算法为什么能算出立方根，首先需要回想一下二项式的立方展开是什么样子的。你可能在高中代数中学过这部分内容，但很可能像大多数人那样，已经忘得一干二净了。选择两个变量${\displaystyle A}$

                  2

                  展开二项式的三次方。这里我们在倒推算法，先计算立方，然后再研究算法能够求出立方根的原理。我们需要先算出${\displaystyle (10A+B{)}^3}$

                  3

                  认识长除算法的含义。你应该注意到了，立方根的计算过程很像长除法。在长除法中，你会得到两个因式，它们相乘后等于初始数字。而在本文描述的计算中，你要求得的数字是立方根，也就是根号上最终得到的数字。这意味着它代表了(10A+B)项。A和B的具体值无关紧要，重要的是要认识到它们与答案之间的关系。

                • 

                  4

                  回顾展开的版本。仔细看展开后的多项式，你会发现立方根算法的作用原理。算法每一步的除数是你需要计算并加总的四项之和。这些项具体如下：

                  • 第一项包含1000这个系数。首先，你要为第一位数选择一个数字，使它的立方在长除法的范围以内。这个数字使二项展开式中的1000A^3项变成已知项。
                  • 二项展开式的第二项的系数等于300。300实际上是通过${\displaystyle 3\ast {10}^2}$

                    5

                    看着精确度不断上升。使用长除算法时，你完成的每一步都会让答案更加精确。例如，本文例题要求算出10的立方根。在第一步中，解是2，因为${\displaystyle 2^3}$接近10而小于10。但实际上${\displaystyle 2^3=8}$。经过第二轮计算后，你得到的解是2.1。算到这一步，${\displaystyle {2.1}^3=9.261}$，更加接近目标值10。而在第三轮计算后，得到2.15，${\displaystyle {2.15}^3=9.94}$。你可以根据自己的需要，继续以三位数为一组，计算更加精确的答案。

                  小提示

                  • 手算立方根和所有其他数学知识一样，熟能生巧。练习可以提高计算的速度和准确性。

                  警告

                  • 计算时很容易出错。因此做题时一定要认真仔细，做完后也要仔细检查。